Derivadas parciais

0.1 Introdução

As derivadas parciais são a generalização das derivadas ordinárias para funções de várias variáveis. Elas medem como a função varia em relação a cada variável, mantendo as outras constantes: derivamos uma variável por vez.

Formalmente, a derivada parcial de f em relação a x_i, quando o limite existe, é

f_{x_i}(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_1, x_2, \ldots, x_i + h, \ldots, x_n) - f(x_1, x_2, \ldots, x_i, \ldots, x_n)}{h}

De forma mais simples, seja f(x,y). As derivadas parciais de f em (x,y) são os limites:

f_x(x,y) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h, y) - f(x, y)}{h}, \quad f_y(x,y) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x, y + h) - f(x, y)}{h}, quando existem. Em f_x só a primeira coordenada varia; em f_y só a segunda.

f_x é a derivada comum de f enxergando y como constante. A lógica é a mesma para f_y.

Comparando com a derivada de uma variável: f_x(x,y) = g'(x), onde g(t) = f(t,y) com y fixo. “Congelar” a outra variável é o conteúdo dessa definição.

0.2 Notações

Todas as notações abaixo são equivalentes.

f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = \partial_x f = D_x f

Para as demais variáveis vale a mesma notação, trocando x por y, z, etc. O símbolo \partial é lido como “del” e indica que estamos derivando parcialmente. Ela distingue a derivada parcial da derivada total \frac{d}{dx}. A notação \frac{\partial f}{\partial x} é mais explícita, indicando que estamos derivando parcialmente em relação a x e considerando as outras variáveis como constantes.

0.3 Análise geométrica

O gráfico de z = f(x, y) é uma superfície. Fixar y = b corta a superfície com o plano vertical y = b; a interseção é uma curva, a curva-fatia z = f(x, b). A derivada parcial f_x(a, b) é a inclinação da reta tangente a essa curva no ponto x = a, medida na direção do eixo x.

De modo simétrico, f_y(a, b) é a inclinação da curva-fatia obtida ao fixar x = a, na direção do eixo y. Cada derivada parcial mede a inclinação da superfície ao caminhar paralelamente a um dos eixos.

import numpy as np
import plotly.graph_objects as go

f = lambda x, y: 6 - x**2 - y**2
a, b = 1.0, 1.0  # ponto onde medimos a derivada parcial

fig = go.Figure()

# superfície z = f(x, y): a cúpula, semitransparente para enxergar o corte
grid = np.linspace(-2.2, 2.2, 60)
X, Y = np.meshgrid(grid, grid)
fig.add_surface(x=X, y=Y, z=f(X, Y), colorscale="Blues", opacity=0.55,
                showscale=False, name="z = f(x, y)")

# plano de corte y = b (a fatia vertical que gera a curva)
xp, zp = np.linspace(-2.2, 2.2, 2), np.linspace(-1.5, 6.5, 2)
Xp, Zp = np.meshgrid(xp, zp)
fig.add_surface(x=Xp, y=np.full_like(Xp, b), z=Zp, opacity=0.22,
                showscale=False, colorscale=[[0, "#ff7f0e"], [1, "#ff7f0e"]])

# curva-fatia z = f(x, b): interseção da superfície com o plano
xs = np.linspace(-2.2, 2.2, 120)
fig.add_scatter3d(x=xs, y=np.full_like(xs, b), z=f(xs, b), mode="lines",
                  line=dict(color="#d62728", width=6), name="curva-fatia z = f(x, b)")

# reta tangente à curva-fatia em x = a; inclinação fx(a, b) = -2a
inc = -2 * a
xt = np.array([a - 1.1, a + 1.1])
fig.add_scatter3d(x=xt, y=np.full_like(xt, b), z=f(a, b) + inc * (xt - a),
                  mode="lines", line=dict(color="black", width=5),
                  name=f"tangente, inclinação {inc:.0f}")

# ponto de tangência (a, b, f(a, b))
fig.add_scatter3d(x=[a], y=[b], z=[f(a, b)], mode="markers",
                  marker=dict(color="black", size=5), name="(a, b, f(a, b))")

fig.update_layout(
    template="plotly_white", height=560,
    scene=dict(xaxis_title="x", yaxis_title="y", zaxis_title="z",
               camera=dict(eye=dict(x=1.6, y=-1.6, z=1.0))),
    margin=dict(l=0, r=0, t=0, b=0),
    legend=dict(orientation="h", y=0.02),
)
fig.show()

A superfície z = 6 − x² − y² cortada pelo plano y = 1. A interseção é a curva-fatia vermelha z = 5 − x²; a reta preta é sua tangente em x = 1, cuja inclinação é a derivada parcial fx(1, 1) = −2. Arraste para girar.