1 Regras de derivação
1.1 Derivadas de Funções Polinomiais
1.1.1 Derivadas de Funções Exponenciais
Seja y=a^x (a > 0 e a\neq1). Então:
\frac{d(a^x)}{dx}=a^x\ln(a)
A derivada de a^x é igual a: a^x * \ln(a). Pela definição de derivada, temos que:
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{a^{x+h} - a^x}{h} \\[1.5em] = \lim_{h \to 0} \frac{a^x a^h - a^x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{a^x (a^h - 1)}{h} \\[1.5em]
Como a^x é não depende de h, podemos colocá-lo fora do limite:
f'(x) = a^x \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h}
Todo o problema se resume, então, a calcular o limite restante:
L = \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h}
Fazendo a substituição t = a^h - 1 \ \ \Rightarrow \ \ a^h = 1 + t
e aplicando o logaritmo natural dos dois lados, temos que:
h\ln(a) = \ln(1+t)
logo,
h = \frac{\ln(1+t)}{\ln(a)}
Quando h \to 0, temos a^h \to 1, e portanto t \to 0. Substituindo o valor de h no limite, temos que:
L = \lim_{t \to 0} \frac{t}{\dfrac{\ln(1+t)}{\ln(a)}} = \ln(a)\lim_{t \to 0}\frac{t}{\ln(1+t)}
Falta apenas o limite \lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t}. Usando a propriedade c\ln(b)=\ln(b^c) e a continuidade do logaritmo:
\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+t)}{t} = \lim_{t\to 0}\ln\!\left[(1+t)^{1/t}\right] = \ln\!\left[\lim_{t\to 0}(1+t)^{1/t}\right] = \ln(e) = 1
onde usamos a definição do número de Euler, \lim_{t\to 0}(1+t)^{1/t}=e. Logo o limite recíproco também vale 1:
L = \ln(a) \cdot \lim_{t \to 0}\frac{t}{\ln(1+t)} = \ln(a)\cdot 1 = \ln(a)
Voltando à expressão da derivada, chegamos ao resultado procurado:
f'(x) = a^x \lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h} = a^x\ln(a)
Na igualdade a^h = 1+t, a incógnita que queremos isolar (h) está presa no expoente, e nenhuma operação algébrica comum (somar, multiplicar, dividir) tira algo de lá. Precisamos da operação que inverte a exponenciação, que nesse caso é o logaritmo.
A propriedade é a seguinte:
\ln(a^h) = h\ln(a),
ou seja, o logaritmo desce o expoente e o transforma num fator multiplicativo comum. Assim h deixa de estar “em cima” e vira algo que podemos isolar:
a^h = 1+t \;\xrightarrow{\ \ln\ }\; h\ln(a) = \ln(1+t) \;\Rightarrow\; h = \frac{\ln(1+t)}{\ln(a)}.
empre que a incógnita estiver no expoente, aplicar logaritmo dos dois lados é o movimento certo. Isso é exatamente o mesmo que fazemos para resolver 2^x = 7 \Rightarrow x = \frac{\ln 7}{\ln 2}. Logaritmo e exponencial são funções inversas, e aplicar um desfaz o outro.
E por que o log natural (\ln), e não \log_a? Qualquer base isolaria h, mas o \ln é escolhido de propósito: ele faz aparecer o \ln(a) (justamente o que queremos no resultado) e encaminha o passo seguinte para o número de Euler, via \lim_{t\to 0}(1+t)^{1/t}=e.
1.1.2 Derivada do Logaritmo
Seja y=\log_a x (a > 0 e a\neq1). Então:
\frac{d(\log_a x)}{dx}=\frac{1}{x\ln(a)}
Pois:
\begin{align} y = \log_a x \Rightarrow \frac{d(a^y)}{dx} &= \frac{d(x)}{dx} \\[1.5em] a^y \ln(a)\frac{dy}{dx} &= 1 \\[1.5em] \frac{dy}{dx} = \frac{1}{a^y \ln(a)} &= \frac{1}{x \ln(a)} \end{align}
Com isso, podemos também derivar o logaritmo natural de x.
y=\ln{x} \ \ \Rightarrow \ \ e^y=x
Derivando ambos os lados.
\frac{d(e^y)}{dx} = \frac{d(x)}{dx}
Derivando implicitamente a função exponencial e^y, obtemos que a derivada y, é ele mesmo multiplicado por \ln{e}
e^y \ln{e}\frac{dy}{dx}=1
Ao rearranjar a expressão, obtemos que a derivada de y em relação a x é 1 sobre e^y
e^y \frac{dy}{dx}=1 \ \ \Rightarrow \ \ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y}
Pela primeira passagem, sabemos que e^y=x, então, podemos substituir na expressão final para obtermos
\frac{d(\ln{x})}{dx} = \frac{1}{x}